Ответы к олимпиадным задачам

Задача1.

Решение:

Пусть $ \angle A=\alpha $. Тогда $ \angle ACC_{1}=\alpha$, так как $ \triangle ACC_1$ равнобедренный. $ \angle ACB=\angle ABC=2\alpha$; сумма углов треугольника $ ABC$ равна $ 5\alpha $. Следовательно, $ \alpha =36^{\circ }$. Таким образом, углы треугольника $ ABC$: $ 36^{\circ }, 72^{\circ }, 72^{\circ }$.

Задача2.

Решение:

Пусть в классе $ x$ мальчиков и $ y$ девочек. Тогда сумма всех оценок, полученных мальчиками, равна $ 4x$, девочками - $ 3,25y$, средний балл равен $ \frac{3,25y+4x}{ x+y}=3,6$. Отсюда получаем, что $ 7y=8x$. Следовательно, $ y=8k$, а $ x=7k$ при некотором натуральном $ k$. Тогда $ x+y=15k$, а число такого вида в интервале от 30 до 50 только одно: $ x+y=45$. Значит, в классе 24 девочки и 21 мальчик.

Задача3.

Решение:

$ 1004041=(10^6+1)+4\cdot 10\cdot(10^{2}+1)$. Воспользовавшись формулой суммы кубов, получим разложение на множители: $ (10^{2}+1)\cdot((10^{4}-10^{2}+1)+4\cdot 10)$.


Задача4.

Решение:

Данное в условии равенство преобразуется к виду $ (a-b)^{2}=4c^{2}$. Тогда $ a^{2}+b^{2}=4c^{2}+2ab$ и, следовательно, $ \frac{ab+2c^2}{a^{2}+b^{2}}=\frac{1}{ 2}$.